Getallen

De webpagina getallen is een compilatie van Binair, Octaal, Decimaal en Hexadecimaal.
Na het bestuderen van de inhoud bent u in staat om binair te kunnen lezen en omzetten naar decimaal en hexadecimaal.

Binair, octaal, decimaal en hexadecimaal zijn talstelsels.

Sinds dat er mensen zijn, wordt er geteld. Hiervoor worden verschillende technieken en telsystemen gebruikt. De basis voor ons hedendaags systeem is de 10. In het verleden waren er ook systemen die niet bij de cijfer 9 stopten, maar door gingen tot 59. Dit zestigtal systeem van de Babyloniers, (1800 tot 539 v.Chr.), heette het Sexagesimalsyteem, of Hexagesimalsystem. Overblijfselen van dit oude systeem zijn nog dagelijks terug te vinden als het om seconden en minuten gaat, of de 360 graden van een cirkel. Termen zo als gros of dozijn verwijzen naar het Duodecimaalsysteem, met de basis of radix zeg grondtal 12.

Binair verwijst naar het rekenstelsel dat slechts werkt met de cijfers nul en een. De 0 en de 1 heten een BIT(Binary DigiT) symbool b.

De basis voor het binaire positiestelsel werd in 1703 door de Duitser G.J. Leibnitz gelegd.

De werking van de computer berust op het werken met bits.
Een bit is of aan 1 of uit 2. Men spreekt ook van
hoog = 1 of laag = 0 en
waar = 1 of niet waar = 0.

Het grondtal van het binaire stelsel is de 2.
In dit verband spreekt man dan ook van radix achter het getal is da radix in subscript vermeld zo als 1011 links. Bits komen zelden allen voor. Men komt deze tegen in groepjes van vier, hetgeen dan een nibble wordt genoemd.

Als er groepen van acht bits bij elkaar zijn, spreekt men van een byte, symbool B, of heel deftig van een octet, afgeleid van het Latijnse octō. Vandaar dat de octopus acht armen heeft.
Voor de duidelijkheid is het beter om octet te gebruiken, gezien Byte, afkomstig van Werner Buchholz in het verleden ook een verzameling van 5 of 7 en 12 bits een Byte noemde. Daar komt nog bij dat IBM een claim op het wordt Byte had gelegd.
Een octet wordt voor de duidelijkheid als twee nibbles genoteerd. Zie hier 0100 0001 met het decimale equivalent 65, hoofdletter A in de ASCII tabel.

De hoeveelheden van opslag so als het werkgeheugen of de opslag capaciteit van diverse media zeg informatiedragers word in Bytes of beter gezegd in kilobytes en de machten van deze weergegeven.
Een KB Kilobyte is 1.024 Bytes
Een MB Megabyte is 1.024 Kilobyte (1.024×1.024 Byte = 1.024 tot de macht 2 Byte)
Een GB Gigabyte is 1.024 Megabyte (1.024 x 1.024 x 1.024 Byte = 1.024 tot de macht 3 Bytes)
Een TB Terabyte is 1.024 Gigabyte ergo 1.024 tot de macht 4 Bytes.
Een PB Petabyte is 1.024 Terabyte dus 1.024 tot de macht 5 Bytes.
Een EB Exabyte is 1.024 Petabyte dus 1.024 tot de macht 6
Een ZB Zettabyte is dan 1.024 tot de macht 7 en
Een YB Yottabyte 1.024 tot de macht 8 Bytes.

Het rekenen met binaire getallen is even wennen.
De computer vind het overigens prachtig. Het is een echt zwart wit denker. Rekenen doet hij met schakelaars (transistors), die of aan staan of uit. Hij rekent dus veel liever binair dan decimaal, zoals de mensen dat doen.
Overigens werkten de eerste Amerikaanse computers, zo als de ENIAC, wel decimaal wat nogal wat ruimte in beslag nam en niet echt efficiënt was. Konrad Zuse de vader van de eerste general purpose computer (Z3), rekende eerst alles van decimaal om naar binair, voordat de computer aan het werk ging.

Hier links volgt een optelling van 0 tot 15. Een nibble is voldoende om de klus te klaren.
Links staan de decimale getallen en rechts de binaire equivalenten.


Aan hand van het binaire getal 1010, met het decimale equivalent 10, nog even een uitleg hoe het in elkaar steekt.

Het linkse bit, de 1 is het MSB (Most Significant Bit) en heeft de 2 tot de derde macht positie. Dat wil dus zeggen, dat als het bit aan staat of hoog is, de uitkomst 2x2x2.
De decimale uitkomst is 8.

De volgende bits rechts naast de MSB staan niet aan, is zijn laag, 0 dus. De machtspositie is 2 tot de 2e macht. Had dit bit wel aangestaan was er sprake van een decimale 4 gezien 2x2 vier is, maar nu helaas 0.

De volgende bit rechts van de vorige staat wel aan. Gezien de machtspositie 2 tot de macht 1, is de uitkomst 2, decimaal wel te verstaan.

De laatst bit in de rij, de meest rechtse is de LSB. Ook al staat deze aan, zal het wel een 1, maar nooit een twee worden gezien hij de 2 tot de macht nul positie inneemt. Gezien de LSB niet aan staat is de uitkomst 0.

Tellen wij de 8 de 0, de 2 en de 0 bij elkaar op, zien wij als resultaat een decimale 10.



Optellen gaat dan als volgt:

Zo als u ziet, worden hier twee bits bij elkaar opgeteld, namelijk 1 + 1.
Het grootste binaire cijfer is en 1.
Wil ik er nu nog een bij optellen, verhuizen wij naar de volgende macht, zoals wij dat gewend zijn als wij middels het decimale stelsel en 1 bij 9 willen optellen. De plek die dan vrij komt is de 0 en het getal wat wij moeten onthouden, de carrier, is 1.
Omdat er verder niets gebeurd, verhuis de carrier naar beneden. Er staat een 10. Om precies te zijn staat er nu het resultaat van een additie bestaande uit een Carrier (C) en een Som (S), waarbij de C de 1 is en de S de 0.

De carrier staat links en de som staat rechts.


Aftrekken werkt met behulp van Two's complement middels optellen!!

Nog een binair additief voorbeeld maar dan in een nibble format.
Hier links wordt binair 3 bij 5 opgeteld.

Gezien computers binair werken hebben deze een binaire rekenmachine nodig. Om dit voor elkaar te krijgen heb je bouwstenen nodig. Deze bouwstenen heten poorten. Een poort op zijn beurt bestaat uit elektronische aan- en uitschakelaar, de transistors. Net als bij lego bouwstenen heb je bij de poorten verschillende uitvoeringen, namelijk de AND OR en NOT poort. Als je wilt weten hoe het precies in elkaar zit, ga dan naar elektroles12.

Een makkelijke manier om de resultaten van een binaire berekening decimaal weer te geven is het gebruik van BCD en de seven segment display SSD.

Voordate er computers ware, werd er in de communicatiewereld de Baudot-code, een binaire vijf bit notatie gebruikt.
Let wel op, dit zijn geen positiestelsel De teletype code van de Fransman Baudot was in wezen een voorloper van de 7 bit ASCII tabel.

De Amerikaan Frank Gray ontwikkelde in dienst van Bell de RBC Refelcted Binary Code.
RBC is ook bekend als de 'minimum error code', en wordt ingezet om foutcorrectie in digitale communicatie te vergemakkelijken.
Het Bijzondere aan de RBC is, dat er per oplopende waarde, telkens, slechts een bit wijzigt.

De twee uit vijf codering (2of5) is eveneens een rekensysteem dat van de binaire notatie gebruik maakt. Het systeem werkt echter met een vijf bit notatie.
De decimale nul, word als 11000 en de een als 00011 weergegeven.

Binaire presentaties die op het eerste gezicht onlogisch uit zien, komen wij tegen in de presentatie van de Fibonacci Code.
1001 is volgens deze code niet 9 maar 6.

Octaal

Octaal afkomstig van Latijnse octō. wat staat voor acht, is een achttallig positiestelsel.

0 1 2 3 4 5 6 7
De radix van het octale systeem is dan ook 8.
Het octale systeem kent ook nibble’s , allen zijn deze maar drie bit breed.

100 + 011 = 111

In het verleden, zeg de begintijd van de computer werd met het octale systeem gewerkt.
Tegenwoordig is alles echter hexadecimaal.

Decimaal

Decimaal afkomstig van het Latijnse deci , wat tien betekend.
Iedereen groeit op met tellen van en met zijn vingers en iedereen weet dat wij tien vingers hebben, maar haast niemand staat er bij stil dat de vinger na de 9 geen naam heeft maar aangeeft dat wij verder gaan met de volgende macht 10 radix 10.

Ook ons decimale positiestelsel, dat wij via Fibonacci, Al Khwarizmi en Indiase wiskundige Brahmagupta hebben leren kennen, kent de machtsverheffing, ook al staan wij er nooit bij stil. Laten wij ook voor het decimale stelsel naar de machtsverheffing kijken.

Laten wij naar het getal 1001 kijken. Aan de hoge kant, links dus, staat een 1 met 10 tot de derde macht, wat neerkomt op 1 keer 10x10x10 met het rekenkundig resultaat duizend. De volgende nul en die daarnaast mogen wij overslaan. Het resultaat zou niets anders dan nul opleveren, omdat 0 keer 10 tot de tweede macht (0 x 10 x 10) nu eenmaal niets oplevert. het zelfde geld voor het volgend cijfer. Het cijfer rechts kunnen wij met 10 tot de macht nul vermenigvuldiger, hetgeen ons een 1 oplevert. De uitkomst had ieder kind van groep 3 kunnen verklappen is 1001 of wel duizend een.

Er bestaan overigens binnen het decimale stelsels getallen die een eigenaardige karakter hebben en derhalve goed van pas komen als het om beveiliging zeg encryptie gaat. Deze getallen noemen wij de Priemgetallen.

Naast priemgetallen worden ook Fibonacci codes gebruikt voor versleuteling en beveiliging van data.


Hexadecimaal

Om programmeurs rustig hun werk te laten doen is gekozen voor een Grieks Latijnse combinatie in plaats van een puur Latijnse aanduiding.
Hexadecimaal een samenvoeging van HEXA, van het Griekse hexa (zes) en decimaal, afkomstig van het Latijnse decima, tiendelig, wederom afgeleid van decem, tien, een zestien talstelsel.
De drempel naar de volgende macht van het getal ligt hier bij zestien in tegenstelling van het decimale systeem met een overgang bij 10.
Het grondtal of wel de radix van hexadecimaal is 16
In sommige documentatie wordt ook # gebruikt.

De telling is dus:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

F is het hoogste hex cijfer!

F + 1 is dan ook 10 hexadecimaal.




Het omrekenen van hexadecimaal naar decimaal!

Als voorbeeld wordt het hexadecimale getal 123 omgerekend naar een decimale waarde.

Het hexadecimale getal 0123 wordt van rechts naar links uitgelegd.

Voor het gemak heb ik de voorloop nul laten vervallen. Zie links!
Het least significante (minst belangrijke) getal 3 heeft de macht 16 tot de macht 0.

Dat wil dus zeggen dat de waarde van het getal nooit hoger werd dan F wat decimaal equivalent is aan 15.


Het tweede getal is 2 en heeft de macht 16 tot de macht 1.
Dit wil zeggen dat het getal met 16 moet worden vermenigvuldigt.
In het voorbeeld is dit dus 2 keer 16.

Het derde getal, in dit geval het meest significante (meest belangrijke) getal,
is het getal 1 met de macht van 16 tot de macht 2.
Dit wil zeggen dat het getal word vermenigvuldigd met ( 16 X 16 ). In het voorbeeld is het dus 1 keer 256.

De uitkomst van de omrekening van 123 hexadecimaal naar decimaal is dan:


123 # = 291 decimaal




Het omrekenen van hexadecimaal naar binair!

De binaire notatie 1001 0110 1100 1111 omgerekend naar # 96CF

Wie de binaire omrekening nog niet ziet kan even omhoog scrolen! Het gemak in omrekenen is dat wij slecht met een nibble per notatie werken ongeacht hoe lang de reeks is.


Samenvattend:

- BIT staat voor Binary DigiT met het symbool b.

- De basis voor het binaire rekenen werd in 1703 door de Duitser G.J. Leibnitz gelegd..

- Het octet bestaat uit 8 bits (Latijnse octō).

- De Radix is het grondtal en wordt subscript achter het getal of cijfer genoteerd

- Een Nibble is een reeks van vier Bits

- Een byte is een verzameling van acht bits.

- Het is aangeraden om Octet te gebruiken in plaats van Byte.

- Hexadecimaal is een 16 zestien talstelsel

- Het hexadecimale equivalent van binair 1111 is F

- Een volle nibble is altijd equivalent aan een hexadecimale cijfer c.q. letter

- Omrekenen van binair naar hex gebeurt slechts per nibble

- MSB staat voor Most Significant Bit

- LSB staat voor Least Significant Bit

- Afwijkende binaire codes zijn de BCD, RBC, Baudot, 2 uit 5 en de Fibonacci code.